创新是数学教学的灵魂

大鹏华侨中学  李群力

1999年5月

一、学生学习意义下的创新

“创”的本义是开始（做）或（初次）做，“新”的本义是刚出现的或刚经历到的，跟旧与老相对，所以，“创新”的本义是开始（初次）做未曾出现过的或未曾经验过的事情，包括思维活动。

学习是指个体接受前人的知识和经验。就学生而言，不论前人的知识和经验是由课本呈现的还是由教师传授的，学习的主体只能是学生自己，学生的学习过程一定要涉及到知识的发生发展过程，要重复前人已积累了的或已扬弃了的思维活动，甚至要开创出新的思路而加以内化，也就是说以学生为本的学习都有一个猜测、估算、合情推理的过程，这些无疑都是一种开始，是一种新的体验，因此，学生的学习明显地具有创新的特征。

由创新的本义所引申出来的学生学习意义下的创新，有其特定的含义。学生学习意义下的创新是一种广义的创新思维活动。从思维内容来看，只要学生对所学知识有新的质，有新的了解、理解和应用，就可以看成是学生进行了创新思维。从思维方式来看，只要他们从实际出发进行独立的思考，不论学生思考的结果，包括观察到的现象是否正确地反映或摹写实际，解决问题，是否是印证或再现或复制了前人已发现过和验证过的结果或现象，就可以看成是学生进行了创新思维。

学生学习意义下的创新，与社会意义下的创新，既有联系又有区别，前者是后者的基础，后者是前者的延伸。如果学生学习意义下的创新是前所未有的，那么他们的创新就会转化为社会意义下的创新，具有现实和历史价值。

二、数学创新式教学

    学习具有显著的创新特征，数学教学也如此。面对新的学生、新的知识、新的课堂组织形式与背景，哪一天的数学教学不是一种创新！

    把创新与数学教学有机的结合起来，充分的表现出来，有效的运用起来，使之成为一种教学模式，叫做数学创新式教学。

    数学创新式教学是指适当推迟或延缓判断过程，强调“做”数学活动，注重概念的形成过程、结论的推导过程、方法的思维过程，让学生形成自发的内在动机需要，建立自己的知识结构，并有效地把遇到问题转入自己熟知的语义丰富域的教学方式。数学创新式教学也是放心地把时间、空间给学生，让学生主动自觉地学习的教学方式。

创新式教学的特征是注重活动特别是心理活动，让学生有足够的时间和空间主动地去经历、体验和内化。

创新式教学是教育对知识经济时代的必然应答。

创新式教学是相对于应试前提下的就范式教学而提出来的。就范式教学的特征是“大运动量”“灌注式”和考试密集性和分数单一性评价。就范式教学引进大量应试的附加范式，迫使学生被动的接受，压抑学生的创新精神，禁锢学生的创新思维，导致只有短时应试效应的所谓“泡沫教育”现象。就范式教学是当代教育长期形成的应试传统和流俗所造成的。

三、数学创新式教学操作策略。

1、两个课例。

课例一：课题：三角形全等的判定（一）〈平面几何第二册第3.5节〉

过程一：

师：我们已经知道三角形全等的概念，今天的问题是怎样判定两个三角形全等（画出两个全等三角形）？请大家讨论。

生：移动其中一个三角形，把它与另一个三角形叠起来，看它们是否重合。

生：用纸描了一个三角形并剪下来，把它与另一个三角形叠起来，看它们是否重合。

师：正如同学们所言，我们可以用定义来判定全等，也就是说定是判定两个三角形全等的重要方法，请记住。假设受到条件限制不能移动三角形，也不能描出三角形，如画在黑板上的两个三角形是不能移动的，或者三角形太大，那么我们怎么办？大家都知道比移动、描和剪进一步的是画，我们何不画一个三解形与已知三角形全等呢？大家一边画一边讨论，先画什么？再画什么？画好的三角形究竟与已知的三角形全不全等？

（学生做画图练习并讨论，结果是异彩纷呈，但可以发现学生的思维大都集中在画三边相等。）

过程二：

师：生，你是怎样画的？

生：画三条线段相等。

师：是画三条线段与已知三角形的三条边相等，是吗？

生：是。

师：请你来演示一下。

（学生演示，结果显然因为角的大小不能确定而画得相当困难。）

过程三：

师：实际上用三条线段很容易做出一个三角形（演示），但画起来却相当困难，大家说这是为什么？

生：因为角不好画。

师：对，角不好画也就是角不能确定。现在，我们确定一个角和两边，画一个三角形与已知三角形的二条边和一个角对应相等，看这两个三角形是否全等？

（由此，引出课题SAS公理。）

评析：

（1）学生的思路从SSS出发回到SAS，迥于课本以SAS为出发点的思路。课本的思路所呈现的是结构化知识，学生的思路所呈现的问题化知识。学生的思路是自然而真实的。整个知识的发生发展过程，同学生的认知过程是相吻合的。这时课堂虽不易控制但生动易接受和内化。

（2）很多教案和教学过程对已知SAS画一个三角形不加以引导，甚至忽略，直接给出SAS公理，明显是给学生一个结构化的知识。这种不设画图而大步跨越的教学过程明显有强迫或灌压的嫌疑。这时课堂易控制但生硬不易接受和不易内化。

课例二：课题：分式的加减法。

过程一：计算（分层练习）

1/2-3/2                  5/3+7/4

12/5+7/5                 6/5-5/6

1/a-3/a                  1/a+1/b

b/a+c/a                    a/b-b/a

bc/ad-ef/ad                b/4a-c/a

a/(1+x)+b/(1+x)            a-b+2b/(a+b)

a/(a-b)-b/(a-b)            a/(a-b)+b/a(b-a)

2a(2a-b)+b/(b-2a)          1/(m-m)+(m-5)/(2m-2)

过程二：讲授新课——分式的加减法。

2、数学创新式教学的操作策略。

数学创新式教学的操作策略是实施小步训练，分层指导。小步是根据学生的学力不同，相对而言于大步而主的。譬如课例一中，从全等的定义到全等的判定公理一，是一大步。如果中间插入已知两边一角画图，则变为两小步；课例二中，从分式的通分到分式的加减法是一大步，而中间插入分数的加减法后就变为小步了。小步练习就是要引导学生做数学活动，体验创新过程，主动去学习，避免大步练习中所含有的强迫或灌压的嫌疑，从而强调分层指导。小步练习的设计是创新式教学过程关键环节，使各层次的学生在各自的“最近发展”得到充分的发展是小步练习设计所要遵循的原则。

四、数学创新式教学研究。

1、创新是数学教学的灵魂。

从宏观层面来讲，创新是一个民族的灵魂，一个有灵魂的民族的子孙后代在他们的学生时代，必然地要接受创新精神的洗礼，所以，创新应是新世纪知识经济时代课程论的重要组成部分。数学作为主要课程之一，创新必然是数学教学的灵魂。

从微观层面来讲，第一，课本的出现（可以追溯到十一世纪中国人开始印刷书书籍），不仅引发了教育模式的第二次质变，而且导致了学生思维越来越多的表现为一种复制性方式而不是创造性方式，因为学生的学习越来越多的依赖于对课本的阅读活动和传授活动，也就越来越多的跨越“做”数学活动的启动过程和“发现”的体验过程。这种依赖和跨越往往形成一种心理定势：用惯常的思路去思考，得到惯常的东西。这种心理定势最大危害在于它很容易导致“学”的思维走向简单化和被动化甚至僵化。克拉克船长的岁数问题就是一个典型的例子。这个问题是克拉克船长的船上有19只牛，43只羊，部船长今年的岁数多大？测试表明绝大多数的结果是62或24岁。这一个结果就是可怕的复制性思维的具体表现。第二，“教”的思维往往也如此。因为大量的附加范式，导致了数学教学过份强调重复性原则而不讲求适度性原则，单纯传递结论而缺乏启迪思维，机械重复整理性的演绎思维而忽略发现性的归纳思维。在应试教育的催化作用下，我们明显感觉到这种现象普遍存在，并且危害也相当严重，譬如学生对数学知识理解水平低下，遗忘率大，能力低弱，负担过重，特别是学生的思维能力水平低下已成为不争的实事。坦率地说，我们明显感觉到学生创新思维日渐被禁锢和剥夺，创新精神日渐销蚀和废弃。第三，教材是一些非常规范的简明的结论，然而实际上，这背后隐藏的是一系列的创新活动，学生需要通过体验产生结论的创新活动去真正理解结论的本质与内涵。因此，只有把“学”、“教”、“教材”三者的思维辩证地统一起来，创造性的设置背景，引导活动，把课本显示的结构化知识转化为问题化知识，把复制性思维变成创性思维，把整理性思维和发现性思维有机地结合起来，数学教学才能形成一种最基本的形式：抽象，符号变换和应用；才能指向问题解决，内化为能力，归根于创新；才能纳入素质教育的范畴。从上述意义上讲，创新是数学教学的灵魂。

2、从认知的要素看数学创新式教学。

数学创新式教学是一个重大的新课题，不仅有待于从教学实践进行探讨，而且有待于从理论上进行深入广泛的研究，下面仅从认知过程四要素的角度作一些研讨。

（1）创新式教学有利于激起认知动因。

创新式教学指导学生进行一种广义的创新思维，学生每一次的创新体验，都会使学生明显而真实地发现，并且能明显而真实地感觉到思考的艰辛和成功的喜悦，他们因此会产生强烈的成就感，并从中获得一种自我实现的高层次的精神报偿，久而久之，学生们会因此感觉到学习有一种强烈的内在需求，自学地使自己的意向状态处于主动状态而不是被动状态，这种积极主动的意向状态的常常有利于激起学生的认知动因，如情感、精神、兴趣、毅力和恒心等非智力因素。

（2）创新式教学有利于组织认知内容。

创新式教学注重学生的亲身体验，强调学生的真实发现，保障学生的有序累积，始终把获得知识经验的学与进行行为实践的习相结合视为课堂教学的生命线。通过“做”数学活动就会把索然无味的教材变为具有实际意义乃至具有故事性情节性的材料，从而有利于教师组织认识内容。

（3）创新式教学有利于安排认知方法。

立足于让学生在学习中体验创新过程并且让学生在体验和创新中学习的创新式教学体现了数学的主动性原则和实践性原则，学生的思维因此始终处于不断探索和进取状态，学生因此不断地得到思维的广阔性、深刻性和批判性的培养和训练，从而有利于培养学生的学习方法。

（4）创新式教学有利于利用认知结果。

因为创新式教学加强了知识发生过程的教学，加深了学生对学习结果的了解，学生通过“做”数学活动，极大的丰富了自己的感性认识，形成自己的语义丰富域，在此基础上，学生进可经由建构数学模型进行形式运演，导致问题解决，退可把复杂的数学问题退化到简单的情形去，即转入到自己语义丰富域中，寻求解决问题的方法，先循序渐退而后循序渐进。这显然有利于学生利于学生利用认识结果。

真正的学习，需要学生全部心理活动的参与，每个学生的认知结构和意向状态互为学习的前提，并且相互影响，相互促进。创新式教学有效地导引学生的认知过程，既促进了课本所呈现的知识和经验的结构化在一定程序上内化，又促进了问题解决做到重点突出，易于领会，帮助记忆，便于联想，促使迁移向正方向发展。

3、数学创新式教学要注意的几个问题。

（1）创新式教学必然会反映出教学的深刻性，使教学过程复杂化，包括反馈的不定因素增多，因此创新式教学必需注意改善课堂的控制机制，既要精心设计教案又要组织最佳的教学秩序，还要强调在促进个性发展与培养合作学习精神两方面的协调和统一。

（2）创新式教学明显加强了知识问题化的教学，相对的减弱了知识结构化的教学，这并不等于知识构化不重要。因此，创新式教学必需注意及时了解教学效果，随时调节教学，特别地，要在上好课的基础上指导学生学会阅读课本，有重点的有针对性的对学生作业格式进行个别辅导，真正提高教学效率。

（3）创新式教学不仅是方法，更应该是一种教学理念，由此真正体现通过主体主动的思维去学习这个学生学习意义下的创新的基本特征，从而通过“提高人”来突破由来已久的“提高分”的流俗对教学所造成的困扰。

参考资料：

1、郭思乐教授《素质教育：对知识经济挑战的应答》

2、郭思乐教授《数学素质教育》

3、顾泠沅教授《要重视学科教学策略的研究》