关于几何引言的教学

大鹏华侨中学  李群力

1994年6月

①  数学究竟是什么？

严格地说，这个问题是没有答案的，至少没有满意的答案。不妨就此问题作一份问卷，问所有的在校学生，甚至每一个普通人或者学者，会因此得到许多关于数学简短而精美的描述。但荷马史诗中有一段并非用来描述数学的话，可以看成有关数学的一个较为完整的概括。这段话是：

诞生时虽小，但每时在长大，

天空也容不下她那魔鬼般强大的身躯，

她在大地上蔓延，

她震撼着世界。

可以解释为：虽然数学是从小小的点线开始的（严格的说是从测量和记数开始的，但它们都与点线有关），但数学很快将自己扩展到整个宇宙，使得它包罗万象。并且数学作为学科基础和理论工具，特别是作为思维方式和语言，超越了宇宙，从最小的基本数学到最大的银河系都包含在内。

②  作为启蒙教师，应当告诉学生数学是什么！

其实，数学是人类独特的智能力量，也是一种被发现的或者是被发明的在结构和内容方面最完善的语言，胜过任何方言。鉴于此，同时因为数学本身的创造力所有的神秘性，使得学生感到数学是一个巨大的迷宫。就作为学科的数学本身而言，几乎仅仅是一种游戏而已，那么学数学，也就是在玩一种奥秘无穷、永不得解脱的游戏。像玩所有的其他游戏一样，学生应当是感兴趣的。数学游戏，要从数学是什么开始。现而今数学教学师生双方都感到乏味，除了因为反复练习久久得不到成就感的刺激，师生由此变得不感兴趣甚至反感，教与学由此陷入沉闷等因素外，对数学是什么的巨大迷惑，也是一个不可忽视的因素。

③  数学游戏的迷宫决不是海市蜃楼，那么数学的起源是什么呢？对于这个问题在教学中的解释，会使学生清楚所处的背景和扮演的角色。即弄清楚“是什么？做什么？怎么做？”三个环节，按照这个程序去思想便是所谓的问题提出与解决思路，大言之便是数学的思想。这是学好教学的相当重要的一个基本环节，不可省略的。这也是需教给学生的最重要的东西。

④  “几何学”这个名词是我国明朝徐光启翻译的。

“几何学”这个词的原义，无论是拉丁文还是希腊文都含着“测地术”的意思。相传古埃及的尼罗河每年泛滥，两岸田亩地  尽被淹没，过后必须设法测量，重新勘定田地的界线。在这个实际需要中，测量土地的方法自然要应运而生。据说西方人几何学就是起源于这种测地术。同时至今都令人叹为观止的埃及金字塔也能证明古埃及人很早就已知道许多几何的知识了。

在我国，最早的数学书《周髀算经》和《九章算术》里也记载有许多关于几何的问题，由这两本书可知“圆周率”及“勾股定理”在我国很早就发现了。据记载，勾股定理在西方称为毕达哥拉斯定理，是毕达哥拉斯（公元前582-493年）首先发现的。在我国，早在禹（公元前21世纪）和商（公元前1120年）就有“勾广三，股修四，经隅五”的说法，显见我国是独立发现勾股定理的，而且早过西方若干百年。另一方面，无论在石器时代的陶器上，或在殷商的钟鼎上，都已经有了精美的几何图案。所以我国古代的几何知识也达到了很高的程度。

⑤  至少在公元前275年前，古希腊数学家欧几里德搜集当时所有已知的相当发达的初等几何材料（包括他自己的发现），按照严密的逻辑系统，编成《几何原本》十三卷，这本杰作擅几何学权威达二千余年之久，一直到现在，所有的初等几何教科书无不以它为根据。

《几何原本》最突出的特点是从一些特别提出的公设、公理和定义，有计划来论证其他命题。它的另一个显著特点是第一次把丰富的散漫的几何材料整理成了系统严明的读本。

《几何原本》的基础是用一些定义、公设、公理来构造的，主要的有下列几条：

定义：1、点是不可分的。

      2、线有长无宽。

      3、线的界是点。

      4、直线是这样的线，它对于它的任何点来说都是同样放置着的。

      5、面只有长和宽。

      6、面的界是线。

      7、平面是这样的面，它对于它的任何直线来说都是同样地放置着的。

公设：1、从每一点到另一点可引直线。

      2、每条直线都可以无限延长。

      3、以任意一点为中心可作半径等于任意长的圆。

      4、凡直角都相等。

      5、同平面两直线与第三直线相交，若其中一侧之和小于二直角，则该两直线必在这一侧相交------这条就是有名的“欧几里德第五公设”，也叫做平行公设。

公理：1、等于同量的量相等。

      2、等量加等量，其和相等。

      3、等量减等量，其差相等。

      4、不等量加等量，其和不等。

      5、等量的两倍仍等量。

      6、等量的一半仍相等。

      7、能迭合的量相等。

      8、全体大于部分。

当然欧几里德的上述定义，公设和公理，作为几何学严格的逻辑推理的基本命题，还是相当贫乏的，它的缺点也就在于此，这也显示了他本人和他那个时代的局限性。直到1899年，德国科学家希尔伯特写了一本《几何基础》的书，从而建立了几何推理的完善的公理体系，使得欧氏的几何基础不再残缺。

⑥  在初中几何教材的引言中明确的指出，在“几何”里，只研究物体的形状、大小和位置关系，而不考虑物体的其他性质。学生由此知道了“几何”的研究对象是什么。这显然还不够全面还应当告诉学生做什么。

在“几何”里经常有两件要做的主要工作：一是为了明确概念而确立定义，一是为了揭示真理而推证定理。这样就不至于使学生对于教材的表述形式感到陌生和困惑。

通常每遇到一个新概念都需要订立明确的定义，使人明白所指的是什么。但是，无止境用以前已明确了定义的旧概念来解释新概念是不可能用的。所以，必须有一些从具体事物抽象出来的认为最简单而无需解释的概念作为基础，然后所有其余的概念才能由这些原如概念引导出来。这些原始概念分作两部分：一是基本的名词，一是基本的关系。

同理，证明定理就必需采用一套基本命题，不加证明即作为一切定理的基础，而不再追究它的理由。这套不证明（或被实践证明）的基本命题称为公理。

选定了基础的原始概念和公理之后，几何的论证便有了明确的本源，此外再无需凭直觉或诉诸默契，只有下定义和推理证明两件事了。

⑦  很天真地想象有一套关于“引言”的书，如几何的引言、代数的引言、函数的引言等等。它们是介绍数学的书，而不是数学专业书，适合于中学生阅读，也可借鉴为教学参考。因为现今的教参最为缺乏的就是这一部分。

新编的初中代数教材，在每一章的前面加上类似“引言”的一段话，试图告诉学生应当“做什么？”，这是一种有建设性的改革，如果不被数学忽视的话，应当得到积极的成效。

当学生片面地机械地接爱教材已编定的基本知识和基本方法时，不难想象他们困惑迷茫的样子。例如：几何中学生刚一接触平行线的判定是相当困难的，而生活中教给学徒判定两条直线是否平行是很容易学懂而且会应用的。它们之间的区别除了数学的抽象性，即神话般的符号语言与神秘的逻辑思维以外，大概就在于学生或者根本不懂平行线的判定是怎么回事，即不懂得“做什么？”，当然也不知道“怎么做？”，因此对于那样简单的判定定理也记不下来，就算死记下来也不能用它解题。这是常见的现象，类似的还多，被迫寻求解决方法的结果就是加强“引言”教学，即告诉学生“是什么？”、“做什么？”，然后“怎么做？”。